La aritmética del reloj que practicas cada día sin saberlo

Si bien la aritmética es de uso común en nuestras vidas, hoy hablaremos de un tipo en particular, llamado aritmética modular , introducido en 1801 por el genial Carl Friedrich Gauss (1777-1855) en su librito «Disquisitiones Arithmeticae».

Así a primera vista puede sonarnos esto a chino, pero la aritmética modular, también conocida como “aritmética del reloj” , está más presente en nuestra vida de lo que creemos. Esta denominación se debe a que volvemos a contar desde el principio cuando alcanzamos un cierto valor, al que se llama módulo.

Por ejemplo, cuando lo que contamos son horas, al llegar a 12, volvemos a empezar a contar desde 1. Sin embargo, dado que un día tiene 24 horas, utilizamos dos sistemas diferentes: contar de 24 en 24 o utilizar las iniciales a.m. (ante merídiem) para indicar las horas antes del mediodía y p.m. (post merídiem) para indicar las horas después del mediodía. Vamos a verlo con un ejemplo: las 17 horas es lo mismo que las 5 p.m., ya que 17-5=12 (el módulo).

Este tipo de aritmética también está presente en la música, ya que si utilizamos la escala de doce tonos “contamos” del modo Do-Do#-Re-Re#-Mi-Fa-Fa#-Sol-Sol#-La-La#-Si y volvemos a contar desde Do. Aunque el caso más simple de aritmética modular consiste en tomar como módulo 2. De este modo nuestro pensamiento solo puede distinguir dos opciones: par o impar, 0 ó 1, dentro o fuera, etc.

Esta simplificación de la realidad permite resolver problemas que parecen a priori de una dificultad asombrosa. Para no abusar de vuestra paciencia, solo os voy a contar en esta columna un par de ejemplos de cómo la aritmética modular nos ayuda a resolver con rapidez y elegancia problemas complejos . Uno de carácter matemático y otro de nuestro maravilloso mundo de las 64 casillas.

Consideremos una circunferencia y deformémosla de forma continua sin auto-intersecarse (en el resultado final no debe cruzarse ninguna línea) hasta convertirla en la figura laberíntica del diagrama. ¿Hay algún método para determinar si el punto rojo está dentro o fuera del círculo? ¡Ojo! No vale ponerse a jugar una partida de comecocos hasta ver si salimos del laberinto pues eso no es ningún método, al menos no uno riguroso.

La respuesta no es tan simple. De hecho, la pregunta ni siquiera lo es, pues estamos dando por hecho que la circunferencia deformada separa el plano en una región acotada (“dentro”) y una no acotada (“fuera”). Aunque nuestra intuición pueda decirnos que esto es así, dicha afirmación constituye un sesudo teorema: el de la curva de Jordan , que no fue probado hasta 1887 por Camille Jordan (1838-1922 (Una discusión sobre la primera demostración correcta de este Teorema aquí) .

Gracias a este Teorema, podríamos distinguir o “colorear” el plano (menos la curva) en dos colores, digamos: azul para la región acotada, anaranjado para la región no acotada. Si trazamos una semirrecta desde el punto rojo que corte siempre de forma transversal a la curva, observamos que cada vez que atravesamos la curva cambiamos de región. De este modo, si el número de veces que atravesamos la curva es 1, 3, 5…, esto es impar, el punto se encontrará en el interior y si es 2, 4, 6…, esto es par, el punto estará en el exterior. La “paridad” no cambia tomemos la semirrecta que tomemos. Es una propiedad del punto respecto de la curva.

¿Realmente este tipo de aritmética módulo 2 se da en el ajedrez? El tablero de ajedrez está separado en dos regiones: las casillas blancas y las casillas negras, lo que determina las dos clases de congruencia.

Fijémonos ahora en el caballo. Dada su peculiar forma de moverse en L, el caballo siempre saltará de una casilla blanca a una negra y viceversa. Es decir, cada vez que se mueve el caballo, cambia la paridad de la casilla en la que está.

Esta situación permite resolver fácilmente algunos problemas que podrían resultar ciertamente tediosos. Consideremos la siguiente posición. Juegan blancas.

Su situación parece desesperada, pues el negro cuenta con un caballo y un peón a punto de promocionar. Sin embargo, la situación comprometida del rey negro permite albergar una última esperanza: si blancas juegan Rf1 (Rey mueve a f1) o Rf2 (Rey mueve a f2), y el rey blanco pivota todo el tiempo entre estas dos casillas …-f1-f2-f1-f2-… el rey negro no podrá salir del agujero de h1, ¡y las blancas se salvarían con unas tablas!

Por tanto, el dilema del rey blanco es ¿f1 o f2? ¿casilla blanca o casilla negra? ¡He ahí la cuestión!

Nótese que, siguiendo este plan, el rey blanco siempre cambiaría de paridad de casilla (f1 blanca; f2 negra) al igual que le ocurre al caballo negro. Así que con su primera jugada el rey blanco tiene que decidir si estar en la misma o en distinta clase de congruencia que el caballo negro. ¡Pero debe tener cuidado!, pues si se encuentra en una de las casillas (f1 o f2) y el caballo ataca la otra casilla y es su turno de juego, deberá abandonar el asedio y con ello la partida.

A la vista de este análisis, si el rey blanco está en una casilla del mismo color que el caballo, debe asegurarse de que el turno de juego sea del caballo negro.

Por tanto, la solución es, 1. Rf1 (ponerse en la casilla del color del caballo dejándole el turno al negro). Y no es necesario calcular variantes. Un simple argumento de paridad nos ahorró un dolor de cabeza.

Por cierto, cuando una jugada es especialmente buena, en ajedrez se utiliza el signo de exclamación (!). En este caso, nuestra jugada era 1. Rf1! Nada que ver con los números factoriales de las matemáticas que también denotamos con el mismo signo (!).

Urtzi Buijs es profesor titular del Área de Geometría y Topología en la Universidad de Málaga.

El ABCDARIO DE LAS MATEMÁTICAS es una sección que surge de la colaboración con la Real Sociedad Matemática Española (RSME).