El acertijo matemático de la tumba de Diofanto y la esfera de Arquímedes

Arquímedes (285-212 a.C) es el científico griego más citado de la Historia y uno de los que más ha contribuido al patrimonio matemático de la humanidad. Desgraciadamente, de su tumba no queda rastro, pero se cuenta que en ella había tallado un curioso dibujo: un cilindro circunscrito a una esfera.

Muy probablemente fue una petición del matemático, que se sentía orgulloso de uno de sus descubrimientos: fue el primero en demostrar que el volumen de una esfera corresponde a dos terceras partes del cilindro con el mismo radio y altura, y que a su vez es dos tercios del volumen del cono equilátero circunscrito a la esfera.

De hecho, el matemático griego fue el primero en calcular el volumen de una esfera de radio R .

A pesar de sus méritos, la tumba cayó en el olvido y fue descubierta mucho tiempo después por Cicerón, el célebre orador romano, cuando ejercía de cuestor en Sicilia, antes de perderse en el olvido.

Utilizamos el término ecuación diofántica para referirnos a cualquier ecuación algebraica que tiene dos o más incógnitas, cuyos coeficientes recorren el conjunto de los números enteros, de las que se buscan soluciones enteras. Este tipo de ecuaciones tienen la forma: ax + by = c.

El nombre de estas ecuaciones hace referencia a Diofanto de Alejandría , un matemático que vivió en el siglo III de nuestra era y que es considerado el padre del álgebra . Además, es el autor de «Aritmética», una voluminosa obra compuesta por trece tomos de los cuales se conservan tan sólo seis y que fueron publicados en 1575.

De su vida sabemos muy poco, y gracias a Metrodorus, otro griego que vivió varios siglos después. Al menos hemos podido conocer la edad a la que el alejandrino se despidió de este mundo, eso sí en forma de acertijo. En su epitafio aparecía escrito:

«Caminante, esta es la tumba de Diofanto: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su niñez ocupó la sexta parte de su vida ; después, durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad».

Si «n» es el número de años que vivió Diofanto, del epitafio se deduce la siguiente ecuación de primer grado con una incógnita:

n/6 + n/12 + n/7 + 5 + n/2+ 4 = n

Con un pequeño cálculo matemático se llega a la conclusión de que Diofanto vivió 84 años y su hijo 42.

Pedro Gargantilla es médico internista del Hospital de El Escorial (Madrid) y autor de varios libros de divulgación .