John H. Conway
John H. Conway - Wikipedia
ABCdario de las Matemáticas

La peor metedura de pata en el homenaje al matemático del Juego de la vida

Un gigantesco mosaico pretende mostrar el trabajo del prestigioso investigador de Cambridge John H. Conway en la estación de la localidad británica, pero el arquitecto eligió por error el de otro científico... ¡de la rival Oxford!

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Imaginen que un arquitecto aficionado al fútbol se siente tentado de hacer un homenaje a su futbolista favorito, digamos que se trata de Cristiano Ronaldo. Para ello decide que en una estación de metro de Madrid las paredes estarán cubiertas con una suerte de mosaico construido a partir de camisetas con el número 7 pero con los colores del Barca. Ouch. Posiblemente las redes sociales se inundarían de burlas sobre el tema y, con una probabilidad nada despreciable, el incidente tendría su espacio en las portadas de la prensa nacional.

Pues bien, aunque no fue tendencia en Twitter ni apareció en las primeras planas de la prensa, algo similar ocurrió en el homenaje que en Cambridge quisieron rendirle al matemático británico John H. Conway, uno de los matemáticos más prestigiosos formados en la citada universidad del Reino Unido.

En mayo de este año se inauguró en Cambridge una nueva estación de tren, llamada "Cambridge North" que pretendía rendir homenaje a Conway utilizando para ello un patrón derivado del famoso juego de la vida, diseñado por este matemático, para decorar la fachada.

Antes de seguir con la polémica déjenme que les explique un poco de qué va el juego de la vida de Conway y para a ello debemos empezar por contar qué es qué es un autómata celular. Un autómata celular es un modelo matemático que sirve para modelar determinados procesos naturales y que consta de los siguientes elementos:

(a) un espacio, que llamaremos espacio celular, que será, por así decirlo, el tablero del juego, (en muchos casos elegimos una cuadrícula suficientemente grande, pueden usar una hoja de papel cuadriculado);

(b) células, cada uno de los elementos de dicho espacio (cada cuadradito del papel);

(c) estados de las células, (por ejemplo viva o muerta, sana o enferma, blanco o negro si estamos jugando con papel y lápiz);

(d) el entorno o vecindario de cada célula, es decir, decidir qué células se encuentran directamente conectadas a una dada (importante, por ejemplo, para hablar de contagios);

(e) por último, necesitamos unas reglas de comportamiento para las células que nos permita describir cómo evoluciona el sistema.

Fue John von Neumann, en 1940, el primero que desarrolló estos autómatas celulares, pero, sin duda, el que los popularizó fue, en 1970, John H. Conway, que, simplificando drásticamente las reglas de Neumann, concibió el Juego de la Vida. Este juego, publicado en la columna de Martin Gardner en Scientific American, pasó de ser un simple entretenimiento a crear toda una rama de investigación en los citados autómatas para simular procesos reales.

Pues bien, en este juego de la vida, en el de Conway, el espacio es una cuadrícula y cada cuadradito o celda de esta es una célula. Estas solo tienen dos posibles estados: vivas o muertas. Para nosotros, el entorno de cada célula lo formarán las 8 celdas que la rodean. Esto se conoce como un entorno de Moore (por ejemplo, el entorno de von Neumann solo considera como vecinas a las celdas norte, este, sur y oeste, sin tener en cuenta las restantes cuatro de las diagonales). Y las reglas de comportamiento son las siguientes:

1. Muerte: una célula viva morirá si en su entorno hay menos de 2 células vivas o más de 3.

2. Supervivencia: una célula viva permanecerá en ese estado si en su entorno hay 2 o 3 células vivas.

3. Nacimiento: una célula muerta nacerá si en su entorno hay, exactamente, 3 células vivas.

Vamos a ver un ejemplo que pueden reproducir si toman lápiz y papel. En nuestro espacio, hemos elegido al azar unos cuadraditos y los hemos pintado de morado, son las células vivas

Si nos fijamos en la célula A1, como en su entorno solo hay una célula viva, en la siguiente etapa A1 morirá irremediablemente; la célula A2, en cambio, nacerá, puesto que tiene 3 células vivas (moradas) en su entorno; las células A3, A4, A5 y B1, se quedan iguales porque ninguna de ellas tiene exactamente 3 células vivas en su entorno; la B2, morirá también por tener más de 3 células vivas en su entorno... y así, sucesivamente. En la siguiente etapa, tendremos esta configuración:

Si siguen jugando con este ejemplo, comprobarán que tras 4 etapas llegan a la configuración inicial pero que se ha desplazado en el espacio.

Eso significa que si seguimos evolucionando nuestro 'bichito', este se irá desplazando a lo largo del espacio celular. A este tipo de configuraciones se les llama naves espaciales (spaceships) porque pueden viajar (sin perder ni ganar células) a lo largo del espacio. Pero no siempre ocurre esto.

Fijémonos en la siguiente ilustración:

Esta ilustración está hecha con el programa gratuito Golly, que pueden instalar en su ordenador o en su smartphone.

Los tres bichitos de la ilustración anterior son casi iguales, solo difieren en el tamaño, el número de células de cada una de las cuatro patitas. Pues bien, si los hacen evolucionar con las reglas de Conway ocurrirá lo que se aprecia en la siguiente animación:

El bichito de la izquierda, el más pequeño, a partir de la sexta evolución empieza a oscilar entre dos configuraciones diferentes, por eso diremos que evoluciona a un oscilador; el bichito central desaparece después de seis evoluciones; y el bichito de la izquierda, el grande, después de 13 evoluciones se queda siempre fijo y se convierte en lo que se llama una naturaleza muerta. Como ven, figuras muy similares en forma tienen comportamientos muy distintos en el juego de la vida.

Hay más configuraciones, aparte de las naves espaciales, los osciladores y las naturalezas muertas. Tienen un catálogo muy exhaustivo en la LifeWiki.

Pues bien, además de ser un juego entretenido y adictivo, el juego de la vida dio lugar a investigaciones mucho más interesantes y se usa, como ya hemos dicho, para simular comportamientos naturales de evolución; para estudiar epidemias, por ejemplo. Para ello se usan distintos espacios celulares, se definen distintas células, distintos entornos, se permiten infinitos estados, por ejemplo, cualquier valor entre 0 y 1...

Ahora que ya saben que es un autómata celular y conocen el juego de la vida de Conway les sigo contando el cotilleo con el que comenzamos este artículo. Estábamos en mayo de 2017 en Cambridge y estábamos contando que se había decidido decorar la nueva estación de tren, Cambridge North, rindiendo homenaje a Conway. Pues bien, al arquitecto Quintin Doyle, se le ocurre diseñar este mural para la citada estación:

Como pueden ver sus cuadraditos negros y blancos recuerdan visiblemente a un estado del juego de la vida de Conway pero ¡MEC! ¡Error! Ese patrón no corresponde a ningún estado de dicho juego del matemático de Cambridge sino que es una variante (con un giro de 45o) de un patrón correspondiente al autómata celular diseñado por otro matemático: Stephen Wolfram. Con el agravante de que este último no estuvo nunca en Cambridge pero sí en ¡la Universidad de Oxford! ¡La eterna rival de Cambridge!

"Eso no es mío", dijo Conway cuando se enteró, "sin duda he sido influyente en Cambridge, pero, aparentemente, no en su nueva estación de tren". En su descarga, el arquitecto, Quintin Doyle, declaró que aunque efectivamente el patrón era el correspondiente a la regla 30 del autómata de Wolfram (porque le pareció más estético), este (el autómata de Wolfram) había sido inspirado por el de Conway y que ahí estaba el homenaje. En fin.

Lástima que estos cotilleos no estén en las portadas, ¿verdad? Servirían para que mucha gente conociera los autómatas celulares y disfrutaran con las matemáticas que son tan apasionantes, o más, como el fútbol.

Clara Grima, profesora de la Universidad de Sevilla y presidenta de la comisión de divulgación de la Comisión de Divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).

El ABCDARIO DE LAS MATEMÁTICAS es una sección que surge de la colaboración con la RSME.