Imagen del sorteo de Lote´ia de Navidad del año 1963. Las matemáticas pueden enfriar la ilusión que despierta la lotería
Imagen del sorteo de Lote´ia de Navidad del año 1963. Las matemáticas pueden enfriar la ilusión que despierta la lotería - TEODORO NARANJO DOMÍNGUEZ

Lotería de NavidadSiempre toca fuera, mejor comprar antes y otras absurdas ideas sobre el Gordo de Navidad

La probabilidad de que toque el Gordo de la Lotería de Navidad es similar a la de dar por azar con una persona concreta entre todas las mujeres de Albacete. A pesar de todo, España es una potencia mundial en el gasto en loterías, un ejemplo de la «apuesta de Pascal»

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Se está acercando la Navidad, es algo que se ve por las calles (llenas de iluminaciones estridentes), en los supermercados (con estantes de dulces y de comidas típicas navideñas, con subidas de precio espectaculares en muchos casos) y en los anuncios televisivos (con uno anormalmente largo y lujoso dedicado al Sorteo de Lotería de Navidad), entre otros muchos síntomas. Parece oportuno aprovechar el ‘espíritu navideño’ para contar un Cuento de Navidad, eso sí, quizás un poco diferente de lo habitual, pero un cuento al fin y al cabo.

El regalo

Yo vivo en Zaragoza y Juan es un amigo mío con el que nos vemos con frecuencia. El otro día le comenté que me iba unos días de viaje a un lugar no muy habitual: Albacete. Juan me dijo enseguida: ‘Pues allí tengo una amiga que hace tiempo que no veo; ya ni sé su dirección actual ni su teléfono, pero la última vez que la vi le prometí que le mandaría un libro que le gusta mucho’. Yo vi que Juan tenía sus remordimientos, y me ofrecí a llevarle el libro, aunque hubiera pasado ya tanto tiempo. ‘Vale, me dijo Juan, voy a intentar cumplir mi promesa’. Quedamos y me dio el libro para su amiga con el nombre escrito pegado con un post-it; yo siempre cuidadoso, para no estropear el libro lo metí dentro de un gran sobre y me fui hacia Albacete.

Al llegar allí paré el coche en una calle en la que por fin encontré aparcamiento, salí y a la primera mujer que vi le entregué el sobre diciéndole: ‘Toma el libro que te envía tu amigo Juan de Zaragoza’. Y aquella persona encontrada al azar me contestó: ‘¡Qué bien que Juan se haya acordado! ¡Hacía años que lo esperaba!’

Una vez llegados al final del cuento, una pregunta. ¿Os creéis que todo lo anterior me pasó de verdad? Por más que os asegure que es cierto, es increíble que esa sea justamente la amiga a quien buscaba, ¿no? Pues aquí viene la moraleja, porque ¡¡la probabilidad de que suceda lo del cuento es bastante mayor que la de que a cualquiera de nosotros, que ha comprado un solo número de lotería, le toque el Gordo de Navidad!!

La explicación es fácil: el número de billetes distintos en la lotería de Navidad es 100.000 y el número de mujeres de Albacete es algo mayor de 88.000, según el Censo del Instituto Nacional de Estadística de 2016. Y además las posibles amigas de mi amigo Juan son de una determinada franja de edad, luego muchas menos de esas 88.000.

Siento quitaros la ilusión, pero ¡¡esto es lo que hay!! Y me apenaría si debido a lo anterior, os hago quitar el décimo de Navidad el kit navideño del viaje a casa y el turrón de Jijona.

Alternativas

Podemos pensar que hemos elegido la Lotería equivocada o que hemos comprado sin tener en cuenta las posibilidades de maximizar la probabilidad de acertar, y que en la amplia oferta de sorteos de nuestro país podemos buscar alguno en que la probabilidad de acertar sea mayor, o que hay algún tipo de acción que podamos realizar para mejorar nuestras posibilidades de obtener un premio gordo.

Y siento decir que la respuesta es negativa en ambos casos. Miramos primero en algunas de las loterías más populares, y veremos que ¡todo es empeorable! (como explicaremos más abajo). Porque si eliges la Lotería Primitiva en vez de la Lotería de Navidad es todo igual pero en vez de elegir una amiga de Albacete es alguna persona de Bélgica [puesto que el número de primitivas distintas es 13.983.816 y la población de Bélgica algo menos de 11,5 millones] y si a lo que juegas es a los Euromillones es lo mismo pero una persona francesa, en vez de una amiga de Albacete o una persona belga [número de euromillones diferentes 76.275.360; población de Francia 65.1 millones].

Siempre toca fuera

El hecho de que la Lotería de Navidad sea tan popular y que tanta gente participe, da lugar a estrategias con las que se intenta mejorar la pequeñísima probabilidad de que toque un premio importante. ¿Existe algún procedimiento para lograrlo? Haremos un repaso a dos de las reflexiones comunes a bastantes jugadores de loterías.

Una persona aficionada a los juegos de azar que vivía en una pequeña ciudad siempre encargaba billetes de lotería a un familiar que habitaba en una ciudad más grande diciéndole: ‘Cómpramela tú, porque siempre toca fuera’. ¿Mejoraba con eso las posibilidades de que le tocara? Obviamente no, pero es un sentimiento extendido que hace a mucha gente comprar su lotería en Sort (pueblo catalán con nombre de suerte), o que lo hace en alguna administración famosa, como la de Doña Manolita de la Puerta del Sol. Si mucha gente compra números en un lugar concreto aumentará la probabilidad de que toque en alguno de los números vendidos en esa administración puesto que serán muchos más números que en una administración pequeña, pero no aumenta la probabilidad de que toque en un número concreto que se compra en ella. Y como siempre se venden más números fuera de nuestra ciudad que en ella, casi siempre ¡toca fuera!

El optimismo puede ser todavía mayor, como el caso de una persona que para maximizar las posibilidades de que le tocara decía: «El número que juego en Navidad lo compro en cuanto ponen a la venta los billetes: así seguro que todavía no han vendido el Gordo». Por supuesto que todavía no se ha vendido, pero al comprar uno en concreto, la probabilidad de que nos toque es, como si lo hacemos en cualquier otro momento o lugar, de 1/100.000. Es equivalente a extraer una bola de un bombo con muchas bolas y una sola premiada, en la que no importa el orden de extracción.

Para terminar, pensemos si, aún siendo cierto el razonamiento con el que abríamos el párrafo (es más fácil que toque fuera, porque se juegan muchos más números), ¿existe algún procedimiento por el que sea más fácil que nos toque la Lotería de Navidad? Por desgracia es obvio que no.

En cuanto a aspectos sociales del sorteo de la Lotería de Navidad está en juego no solo el dinero que se obtiene sino toda una serie de preconceptos y prejuicios: la suerte del jugador; los ‘pálpitos’ extraños ante los números (este año parece que el más buscado es alguno relacionado con el 155 por aquello del artículo de la Constitución aplicado en Cataluña); los sueños premonitorios o los sitios en los que comprar los billetes (es mejor si ha habido en ellos un desastre ya que, por algún tipo de compensación divina o extraterrestre, habría mayor probabilidad de que toque).

Por fin, y aunque según recuerdan los anuncios, la Lotería de Navidad española es la que mayor cuantía de premios reparte en todo el mundo, como también recogen a veces medios de comunicación internacionales, lo que parece indicar que la probabilidad de obtener premio es mayor, eso no indica en absoluto que la probabilidad de obtener premio sea mayor. En un sorteo lo importante es la esperanza matemática de ganancia, que es la suma de los productos de las posibles ganancias por las probabilidades de obtenerlas menos el dinero que se ha pagado por participar. Y en este como en todos los sorteos es un número negativo. Multiplicando los premios de la lotería por la probabilidad de obtenerlos y sumando se ve que la esperanza matemática de ganancia para un décimo (que cuesta 20 €) es de –6 € (el 30% del precio del billete), en otras palabras, el juego es desfavorable para los jugadores, por supuesto, y rentable para el Estado.

Las Primitivas y Euromillones

Las Loterías conocidas con el nombre de Primitiva o Lotto, que consisten en elegir M números entre 1 y N son muy populares en muchos países. En España hay tres: la Primitiva y la Lotto 6/49 en Cataluña (en ambas se trata de elegir 6 números entre 1 y 49) y la 7/39 de la ONCE. La más popular es la Primitiva y en ella el premio gordo son 6 números sorteados entre 1 y 49. El número total de formas diferentes en que se pueden salir 6 números entre los 49 posibles (puesto que el orden en que se elijan no tiene que ver) es el número de combinaciones de 49 elementos (los diferentes números) tomados en grupos de 6:

Todavía hay más casos posibles en el caso de la 7/39 de la ONCE:

Desde el año 2004 disputa la popularidad con las Primitivas de cada país otra modalidad de apuesta todavía más complicada, el Euromillón, que se realiza conjuntamente para varios países europeos. En este caso hay que elegir un grupo de cinco números del 1 al 50 y dos estrellas numeradas del 1 al 9. Por tanto, por la misma razón que en el caso anterior, el número de apuestas diferentes que se pueden hacer es:

Blaise Pascal
Blaise Pascal

Si es tan difícil acertar a la Primitiva o a Euromillones, ¿cómo es que se juega tanto? Seguramente es por un razonamiento similar a la llamada ‘apuesta de Pascal’ (1623-62) sobre la existencia de Dios y la conveniencia de practicar la religión, que viene a decir que aunque no se tiene la certeza de la existencia de Dios existe, lo racional es apostar que sí que existe, porque argumenta que ‘aun cuando la probabilidad de la existencia de Dios fuera extremadamente pequeña, tal pequeñez sería compensada por la gran ganancia que se obtendría (ir al cielo y tener la vida eterna)’.

Aunque la esperanza matemática en este tipo de loterías con una probabilidad muy pequeña es la misma que en muchas otras loterías (porque depende del porcentaje de la recaudación que se dedica a premios), los premios se reparten de otra forma y pueden llegar a ser muchísimo más grandes. Hay muy poca probabilidad de acertar un premio importante, pero si sucede nos vuelve ricos de la noche a la mañana. La decisión social es que, como plantea Pascal, vale la pena arriesgarse, ¡y por eso se juega tanto a pesar de tener una probabilidad tan pequeña de acertar!

Algunas reflexiones sobre las loterías

Podemos afirmar que España es primera potencia en juegos de azar. Las cantidades de dinero jugadas por los diferentes usuarios en las distintas modalidades de juegos de azar (loterías estatales o autonómicas, ONCE, casinos, bingos, salas de juegos,...) ascendieron en 2005 a más de 28.000 millones de euros, lo que representa aproximadamente el 3% del PIB español, según datos fiables. Y hay que añadir el último llegado con fuerza a este campo: los juegos on line, con cerca de un millón de jugadores activos en 2015, según datos oficiales. La inclinación española a los juegos de azar viene de lejos, porque ya Ruiz Zorrilla (1833-95), un famoso e influyente político del siglo XIX, decía: «Los españoles, o son católicos o son racionalistas. Los católicos lo esperan todo del milagro. Los racionalistas todo lo esperan de la Lotería Nacional».

Fernando Corbalán. Universidad de Zaragoza. Miembro de la Comisión de divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).

El ABCDARIO DE LAS MATEMÁTICAS es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la RSME.