ABCdario de las Matemáticas

Los cuadrados mágicos que aún nadie ha podido resolver y se premian con 6.500 euros

Estos desafíos matemáticos requieren soluciones ingeniosas y creativas

Recreación artística de un cuadrado mágico
Recreación artística de un cuadrado mágico - Fotoia
Pedro Alegría - Actualizado: Guardado en: Ciencia

Llegados a este punto, resulta difícil imaginar que queda algún lector que no conoce qué es un cuadrado mágico. Como aún es más difícil encontrar alguien que no sepa lo que es un sudoku, diremos para los recién llegados que un cuadrado mágico es una especie de sudoku con algunas características distintivas:

Pedro Alegría. Profesor de Matemáticas en la UPV/EHU y miembro de la comisión de divulgación de la RSME
Pedro Alegría. Profesor de Matemáticas en la UPV/EHU y miembro de la comisión de divulgación de la RSME

-No hace falta que el número de casillas sea 9 x 9, vale cualquier cuadrado.

-No deben repetirse los números en el tablero, tienen que estar los números naturales consecutivos empezando por el uno.

-Debe coincidir la suma de todos los números que estén en la misma fila, pero también la de los números que estén en la misma columna, incluso la de los números que estén en la misma diagonal. Este valor común recibe el nombre de constante mágica.

El ejemplo más antiguo, pues se conoce desde hace más de 4.000 años, corresponde al cuadrado mágico más pequeño que se puede construir –aparte del que solo tiene una fila y una columna- y recibe el nombre de Lo-Shu, debido a una leyenda clásica china. En la imagen de la izquierda se muestra dicho cuadrado ilustrado según la leyenda citada.

Se trata de un cuadrado de tamaño 3 x 3 y se comprueba fácilmente que están todos los números del 1 al 9 y que los números que forman cada fila, cada columna y cada diagonal suman 15:

4 + 9 + 2 = 15,

3 + 5 + 7 = 15,

8 + 1 + 6 = 15,

4 + 3 + 8 = 15,

9 + 5 + 1 = 15,

2 + 7 + 6 = 15,

4 + 5 + 6 = 15,

2 + 5 + 8 = 15.

Menos conocido, pero también perteneciente a la cultura china, es el mostrado en la siguiente imagen, que fue encontrado en las ruinas del palacio del príncipe de Anxi, con ocho siglos de antigüedad.

Es un cuadrado mágico de tamaño 6 x 6, pues contiene los números del 1 al 36 y la constante mágica es 111. No parece que haya sido muy fácil de encontrar, ¿cierto?

Desde hace mucho tiempo se conocen diversos métodos generales que permiten resolver cuadrados mágicos de cualquier tamaño. A falta de las limitaciones materiales sobre las dimensiones de una hoja de papel o del tiempo necesario para rellenar un cuadrado mágico de gran tamaño, se puede decir que, matemáticamente, el problema está resuelto.

Esto no detiene a los aficionados al ¡más difícil todavía! Si eliminamos algunas de las características que definen un cuadrado mágico, podemos plantear problemas más complicados, interesantes y atractivos. Como veremos enseguida, ya se han establecido premios a quien resuelva algunos de ellos.

De aquí en adelante, seguiremos llamando cuadrado mágico a aquel donde la suma de los números de cada fila, de cada columna y de cada diagonal es la misma, aunque los números no sean consecutivos. A su vez, si solo la suma de los números de cada fila y columna es la misma (sin importar la suma de los números en las diagonales), tenemos el llamado cuadrado semi-mágico. Esto quiere decir, por ejemplo, que con esta definición todos los sudokus son cuadrados semi-mágicos pues en cada fila y columna aparecen todos los números del uno al nueve, así que la constante mágica es

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45.

Aquellos sudokus en los que también sumen 45 los números que forman cada diagonal serán mágicos.

Ahora que permitimos otros números en la construcción de cuadrados mágicos, los métodos clásicos ya no son válidos pero la variedad de problemas que se pueden plantear aumenta considerablemente. Un ejemplo que ilustra el interés que ha despertado entre los matemáticos este tipo de desafíos es el cuadrado mágico que envió Leonhard Euler a Joseph-Louis Lagrange en 1770, el cual está formado solo por números cuadrados. La constante mágica es igual a 8.515:

El reto está servido: ¿serías capaz de encontrar un cuadrado mágico de tamaño 3 x 3 que esté formado por números cuadrados? En 1996, Martin Gardner ofreció una recompensa de 100$ a la primera persona que lo consiguiera. En abril de 2010, Christian Boyer amplió la oferta y publicó una lista de seis enigmas (incluyendo el anteriormente descrito). Ofreció una recompensa de 8.000€ y 12 botellas de champán a repartir entre quienes resuelvan dichos enigmas. En esta página se describen los problemas y el premio establecido para cada uno. Algunos ya han sido resueltos pero quedan todavía sin repartir ocho premios, que suman 6500€ y ocho botellas de champán.

Para animar al lector, describiremos algunos de ellos. El primero, con un premio de 1.000€ y una botella de champán, es una versión simplificada del planteado por Martin Gardner: ¿eres capaz de encontrar un cuadrado mágico de tamaño 3 x 3 que tenga al menos siete números cuadrados? No vale el único conocido hasta el momento:

Andrew Bremmer y Lee Sallows descubrieron de forma independiente este cuadrado mágico de cuadrados, aunque necesitaron completarlo con los números 360721 y 222121, que no son cuadrados.

Para no ahondar en el tema, describiremos un segundo enigma de la lista de Boyer, también premiado con 1000€ y una botella de champán: ¿podrías construir un cuadrado semi-mágico de tamaño 3 x 3 que esté formado solo por cubos de números naturales? Lo mejor que se ha conseguido hasta el momento es un cuadrado semi-mágico con ocho cubos y es el siguiente:

Estos y otros ejemplos son una muestra de que muchos problemas matemáticos pueden ser difíciles de resolver a pesar de tener un planteamiento elemental. Esto permite además aplicar el ingenio, la creatividad y la constancia en la búsqueda de soluciones, cualidades que no están reservadas a los matemáticos profesionales. Algunas especialidades matemáticas han surgido precisamente a partir de soluciones ingeniosas a problemas aparentemente elementales.

El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).

La sección se toma un descanso por vacaciones y regresa en septiembre.

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